forskel mellem tal og ciffer: fra semiotik til matematisk filosofi

Ordene "tal" og "ciffer" bruges ofte som synonymer i hverdags tale, men fra en videnskabelig, lingvistisk og matematisk synsvinkel findes der et fundamentalt og uovervindeligt forskel mellem dem. Blandingen her er analog med blandingen af begreberne "bogstav" og "ord". Forståelsen af denne forskel er kritisk vigtig for præcist tænkning i matematik, informatik, lingvistik og filosofi.

Semiotisk grundlag: tegn og betydning

Nøglen til forskellen ligger i teorien om tegn (semiotikken).

Ciffer (Digit) er et TEGN, SYMBOL. En konkret grafisk tegn, der bruges til at skrive tal. Det er en materiell objekt (skrift på papir, lys på skærmen, en kombination af signaler i en processor), der angiver, koder et bestemt kvantitativt værdi inden for en given talsystem. De arabiske cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 er de ti grundlæggende cifre i det decimale talsystem. De romerske tegn I, V, X, L, C, D, M er cifre i en anden, ikke-positionel system.

Tal (Number) er en ABSTRAKT SÆRKHED, IDE, BETYDNING. Det er en mentalt koncept, der repræsenterer antal, størrelse, rækkefølge eller kode. Tallet "fem" eksisterer uafhængigt af, hvordan det skrives: som cifret 5, som den romerske cifre V, som ordet "fem", fem paler |||||, som binær kode 101, eller som en samling af enhver fem ting. Tal er betydningen, der står bag cifret.

En simpel analogi: Cifferet er en konvolut med skrevet adresse. Tallet er indholdet af brevet, informationen. Forskellige konvolutter (cifre i forskellige systemer) kan bære samme brev (samme tal).

Matematisk og historisk perspektiv

Udviklingshistorie: Førstefolk opererede med tal (ideen om "mange" eller "lidt", ved hjælp af prikker, knuder, sten), men havde ikke en udviklet cifferssystem. Skabelsen af cifre (som hos sumerne, egypterne, mayaerne) blev en kulturel stor sprængning, der muliggjorde at fastholde og operere med større tal.

Talsystemer: Cifre er "alfabetet" for talsystemet. I det decimale system består alfabetet af 10 cifre, i det binære af 2 (0 og 1), i det sekstenere af 16 (0-9 og A-F). Det samme tal 255 vil blive skrevet med forskellige cifre:

Decimale system: 255 (tre cifre: 2, 5, 5)

Binær: 11111111 (otte cifre: ene)

Sekstenere: FF (to cifre: F, F)
Her er det klart synligt: tallet er én, mens kombinationerne af cifre er forskellige.

Matematisk natur: Tal deltager i operationer (addition, multiplikation), har egenskaber (lighed, enkelhed), indgår i mængder (naturlige, reelle, komplekse). Cifre er kun materialet til skrivning. Vi kan ikke lægge cifret "2" og cifret "3" sammen. Vi lægger tal sammen, som de repræsenterer, og skriver resultatet med en anden ciffer (eller kombination) — "5".

Lingvistisk og hverdagslig aspekt: kilde til forvirring

Hvorfor er forvirringen så vedvarende? Der er flere grunde i det russiske sprog:

Metonymi (nærhed): Vi siger: "Skriv dine cifre" (med henblik på telefonnummeret, dvs. sekvensen af cifre, der danner tallet). Eller: "Store tal" (om finansielle beløb). Her overføres navnet på en del (ciffer) til helheden (tal).

Påvirkning af engelsk sprog: Ordet "number" i engelsk kan betyde både et abstrakt tal og et ciffer, et nummer, et numerals. I faglig kontekst bruges "digit" til tegnet, men i hverdag er sløringen stadig til stede.

Forenkling i hverdag: Frasen "to-cifret tal" er fuldt ud korrekt, da den angiver antallet af cifre i optegnelsen. Men frasen "cifre vokser" (om statistik) er en metonymi.

Interessante fakta og eksempler:

Zero — et tal eller et ciffer? Begge dele. Som ciffer — er symbolet "0", der bruges til at angive manglende plads i en positionel system. Som tal — er det et fuldt udbygget matematisk objekt, der repræsenterer det neutrale element i addition. De indiske matematikere, der foretaget dette opdagelse, delte disse begreber: de havde et symbol (shunya — tomhed) og en koncept.

"Arabiske" cifre. Cifrene 0-9, der bruges i hele verden, kom historisk fra Indien gennem den arabiske verden. Dette viser, at cifre er betingede grafiske symboler, der kan ændre sig kulturelt, mens de abstrakte tal (f.eks. "π" eller "√2") er universelle.

Informatik og kodning. I en computer repræsenteres alt i binær kode — sekvenser af cifre 0 og 1 (bittes). Disse cifre koder tal (hele tal, reelle tal), bogstaver, kommandoer, pixels af et billede. Den samme digitale sekvens 01000001 kan fortolkes som tallet 65 (i det decimale system) eller som bogstavet "A" (i ASCII-koden). Her er cifret et fysisk bærer, mens tallet/bogstavet er dens fortolkning.

Filosofisk mål: platonisme vs. nominalisme

Spørgsmålet om naturen af tal har en gammel filosofisk tradition.

Platonisme (realisme): Tal eksisterer som ideelle, udtidslige væsener i verden af ideer, uafhængigt af det menneskelige sind. Vi åbner dem og opfinder cifre til deres betegnelse. Cifferet er skyggen af tallet på muren i grotten.

Nominalisme: Tal er kun bekvemme navne (nomener), som mennesker tildeler grupper af objekter til deres klassificering. De eksisterer ikke uafhængigt. Cifre i denne paradigme er materielle etiketter for disse betingede begreber.

Conceptualisme (kompromis): Tal er koncepter, der opstår i det menneskelige sind i interaktionen med verden. Cifre er deres formelle, almindelige repræsentationer.

Praktisk betydning af forskellen

Hvorfor er dette vigtigt uden for akademiske diskussioner?

Læring af matematik: Korrekt brug af termer fra barndommen former et klart begrebsmæssigt tænkning. Barnet skal forstå, at "ti" er et tal, der kan repræsenteres af én ciffer "1" og én ciffer "0".

Programmering og data science: Programmisten skal tydeligt skelne mellem datatyper: integer (heltal) og string (en streng, der kan bestå af cifre, men behandles som tekst). 123 som tal kan multipliceres med 2 og få 246. "123" som en streng af cifre ved konkatenering med "2" vil give "1232", ikke 125 eller 246.

Kryptografi og informationsteori: Cifre er elementer af koden, mens tal (koder, hash) er kodede beskeder eller matematiske resultater af transformationer.

Afslutning: hierarki af abstraktion

Såfremt forskellen mellem tal og cifre er forskellen mellem indhold og form, betydning og tegn, abstrakt væsen og materielt bærer.

Tal er ideen om mængde. Det er objektivt (to æbler eksisterer uafhængigt af vores sprog), men udtrykt subjektivt (med forskellige systemer af optegnelser).

Cifferet er bogstavet i alfabetet til optegnelser af tal, en kulturel artefakt, et værktøj.

Blandingen af disse begreber er en almindelig, men grov fejl, der forenkler billedet af verden. Præcist forskel på dem er et tegn på udviklet begrebsmæssigt tænkning og det første skridt mod at forstå, hvordan sprog, matematik og virkeligheden relaterer til hinanden. Tal lever i sindet, cifre på papir eller skærm. Og mens vi tænker på tal, opererer vi med evige ideer; når vi skriver dem med cifre — vi kun aftaler om betingede symboler.

Permanent link to this publication: